• 若存在实数a∈R,使得不等式 x|x-a|+b<0对于任意的x∈[0,1]都成立,则实数b的取值范围是 .试题及答案-单选题-云返教育

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      若存在实数a∈R,使得不等式 x|x-a|+b<0对于任意的x∈[0,1]都成立,则实数b的取值范围是         

      试题解答


      b<-3+2
      2

      解:问题等价于:当0≤x≤1时,x|x-a|+b<0恒成立,当x=0时a取任意实数不等式恒成立
      也即x+
      b
      x
      <a<x-
      b
      x
      恒成立
      令g(x)=x+
      b
      x
      在0<x≤1上单调递增,∴a>gmax(x)=g(1)=1+b(10分)
      令h(x)=x-
      b
      x
      ,则h(x)在(0,
      -b
      ]上单调递减,[
      -b
      ,+∞)单调递增
      1°当b<-1时h(x)=x-
      b
      x
      在0<x≤1上单调递减
      ∴a<h
      min(x)=h(1)=1-b.∴1+b<a<1-b.
      2°当-1≤b<2
      2
      -3时,h(x)=x-
      b
      x
      ≥2
      -b

      ∴a<h
      min(x)=2
      -b
      ,∴1+b<a<2
      -b

      故可知b<-3+2
      2
      时,存在实数a∈R,使得不等式 x|x-a|+b<0对于任意的x∈[0,1]都成立
      故答案为:b<-3+2
      2
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