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  • 若存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立，则实数b的取值范围是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立，则实数b的取值范围是          ．

      试题解答

      b＜-3+2
      √2
      解：问题等价于：当0≤x≤1时，x|x-a|+b＜0恒成立，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
      也即x+
      b
      x
      ＜a＜x-
      b
      x
      恒成立
      令g（x）=x+
      b
      x
      在0＜x≤1上单调递增，∴a＞gmax（x）=g（1）=1+b（10分）
      令h（x）=x-
      b
      x
      ，则h（x）在（0，
      √-b
      ]上单调递减，[
      √-b
      ，+∞）单调递增
      1°当b＜-1时h（x）=x-
      b
      x
      在0＜x≤1上单调递减
      ∴a＜h      min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．
      2°当-1≤b＜2
      √2
      -3时，h（x）=x-
      b
      x
      ≥2
      √-b
      ，
      ∴a＜h      min（x）=2
      √-b
      ，∴1+b＜a＜2
      √-b
      ．
      故可知b＜-3+2
      √2
      时，存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立
      故答案为：b＜-3+2
      √2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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