定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）若对任意x∈[1，4]时，不等式f（x2+2）＜f（ax）都成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若对任意x∈[1，4]时，不等式f（x²+2）＜f（ax）都成立，求a的取值范围．

见解析

解：（1）令m=1，n=0则f（1）=f（1）?f（0）又0＜f（1）＜1∴f（0）=1
（2）设x＜0则-x＞0∴0＜f（-x）＜1而f(x)=

f(0)

f(-x)

∴f（x）＞1即对任意x∈R有f（x）＞0
设x₁＞x₂则 x₁-x₂＞0，∴0＜f（x₁-x₂）＜1
于是，

f(x₁)

f(x₂)

=f(x₁-x₂)＜1∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函数f（x）在R上单调递减．
（3）∵f（x）在R上单调递减∴f（x²+2）＜f（ax）?x²+2＞ax
则不等式x²-ax+2＞0对x∈[1，4]恒成立即a＜x+

对x∈[1，4]恒成立∴a＜(x+

)_min而y=x+

在[1，4]上的最小值为2

√2

所以，a＜2

√2

．

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