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  • 已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量OA，OB，OC满足：OA-（32x2+1）?OB-[ln（2+3x）-y]?OC=0．记y=f（x）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意x∈[16，13]不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围：试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量
      OA
      ，
      OB
      ，
      OC
      满足：
      OA
      -（
      3
      2
      x2+1）?
      OB
      -[ln（2+3x）-y]?
      OC
      =
      0
      ．记y=f（x）．
      （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
      （Ⅱ）若对任意x∈[
      1
      6
      ，
      1
      3
      ]不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围：

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）向量
      OA
      ，
      OB
      ，
      OC
      满足：
      OA
      -（
      3
      2
      x2+1）?
      OB
      -[ln（2+3x）-y]?
      OC
      =
      0
      ．
      即
      OA
      =（
      3
      2
      x2+1）?
      OB
      +[ln（2+3x）-y]?
      OC
      ，
      ∵A、B、C是直线l上不同的三点
      ∴（
      3
      2
      x2+1）+[ln（2+3x）-y]=1，
      即y=
      3
      2
      x2+ln（2+3x），
      ∴f（x）=
      3
      2
      x2+ln（2+3x）；
      （Ⅱ）∵f（x）=
      3
      2
      x2+ln（2+3x），
      ∴f'（x）=3x+
      3
      2+3x
      ，
      ∴原不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0等价为|a-lnx|-ln
      3
      2+3x
      ＞0．
      即|a-lnx|＞1n
      3
      2+3x
      ．
      ∴a＞lnx+1n
      3
      2+3x
      =ln
      3x
      2+3x
      或a＜lnx-1n
      3
      2+3x
      =ln
      2x+3x2
      3
      ．
      设h（x）=ln
      3x
      2+3x
      ，g（x）=ln
      2x+3x2
      3
      ．
      ∵x∈[
      1
      6
      ，
      1
      3
      ]时，函数y=
      3x
      2+3x
      ，和y=
      2x+3x2
      3
      都是增函数，
      ∴函数h（x）=ln
      3x
      2+3x
      ，g（x）=ln
      2x+3x2
      3
      也是增函数．
      ∴当且进行a＜g（
      1
      6
      ）或a＞h（
      1
      3
      ），
      即a＜ln
      5
      36
      或a＞ln
      1
      3
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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