已知函数f（x）=3x，且f（a+2）=18，g（x）=3ax-4x的定义域为[0，1]．（1）求g（x）的解析式；（2）求g（x）的值域；（3）是否存在实数t，若对任意的x1∈[0，1]，都存在x2∈[t，t+1]使得g（x1）=f（x2）-3成立，若存在求出t的值，若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域；
（3）是否存在实数t，若对任意的x₁∈[0，1]，都存在x₂∈[t，t+1]使得g（x₁）=f（x₂）-3成立，若存在求出t的值，若不存在，请说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）由f（a+2）=18，得3^a+2=18，
即3^a=2，
∴a=log₃2，
∵g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x，
∴g（x）=(3^log?₃2)^x-4^x=2^x-4^x．
（2）∵g（x）=2^x-4^x=2^x-(2^x)²=-(2^x-

)²+

，
∴当x∈[0，1]时，2^x∈[1，2]，
∴设t=2^x∈[1，2]，
则函数g（x）等价为y=-(t-

)²+

，
-2≤y≤0，
即g（x）的值域为[-2，0]．
（3）当x∈[0，1]，由（2）知g（x）的值域为[-2，0]．
若任意的x₁∈[0，1]，g（x₁）∈[-2，0]．
∴由得g（x₁）=f（x₂）-3成立，
即得g（x₁）+3=f（x₂）成立，
∴g（x₁）+3∈[1，3]．
若存在x₂∈[t，t+1]使得g（x₁）=f（x₂）-3成立，
则

{	3^t=1 3^t+1=3

，
即t=0，
故存在t=0，满足条件．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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