已知f（x）是定义在[-1，1]上的函数，f（x）=-f（-x），且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有f(a)+f(b)a+b＞0．（1）证明函数f（x）在[-1，1]上是增函数；（2）若f（x-1）＜f（2x），求x的取值范围．（3）附加题（5分）：若f（x）≤-2am+2，对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f（x）是定义在[-1，1]上的函数，f（x）=-f（-x），且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）证明函数f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）若f（x-1）＜f（2x），求x的取值范围．
（3）附加题（5分）：若f（x）≤-2am+2，对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

见解析

（1）证明：任取-1≤x₁＜x₂≤1，
f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=

f(x₁)+f(-x₂)

x₁-x₂

．(x₁-x₂)
∵

f(x₁)+f(-x₂)

x₁-x₂

＞0，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函数，f（x-1）＜f（2x），
∴

{	x-1＜2x -1≤x-1≤1 -1≤2x≤1

，
整理，得

{

x＞-1

0≤x≤2

≤x ≤

∴x的取值范围是：{x|0≤x≤

}．
（3）解：∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f_max（x）=f（1）=1，
∵要使f（x）≤-2am+2，对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只需-2am+2≥1，
即2am-1≤0，
设g（a）=2ma-1，
∴

{	g(-1)≤0 g(1)≤0

，即

{	-2m-1≤0 2m-1≤0

，
解得-

≤m≤

．

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