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  • 已知函数f（x）=x-sinx（x≥0）（1）求f（x）的最小值；（2）若函数g(x)=x22-af′(x)在（0，+∞）上单调递增，求正实数a的取值范围；（3）若nΣk=1cos1k≤λn对一切n∈N*恒成立，求λ的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x-sinx（x≥0）
      （1）求f（x）的最小值；
      （2）若函数g(x)=
      x2
      2
      -af′(x)在（0，+∞）上单调递增，求正实数a的取值范围；
      （3）若      nΣk=1cos
      1
      k
      ≤λn对一切n∈N*恒成立，求λ的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f′（x）=1-cosx=0得x=0，且函数在[0，+∞）上为增函数，故f（x）的最小值为0
      （2）g(x)=
      x2
      2
      -a-acosx，g′（x）=x-asinx又a为正实数
      当0＜a≤1时，若x∈（0，1），由（1）可知x≥sinx，所以g′（x）≥（1-a）sinx≥0
      若x∈（1，+∞），asinx≤a≤1＜x，
      所以g′（x）≥（1-a）sinx≥0
      综上，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
      当a＞1时，令h（x）=x-asinx，（x≥0）则h′（x）=1-acosx
      当x∈(0，arccos
      1
      a
      )时，h′（x）＜0，h（x）单减，所以h（x）＜h（0）=0
      即g′（x）＜0，所以g（x）在(0，arccos
      1
      a
      )上单调递减，与已知矛盾．
      综上，正实数a的取值范围为：正实数a的取值范围（0，1]
      （3）首先      nΣk=1cos
      1
      k
      ＜n其次，由（2）知：当a=1时，g(x)=
      x2
      2
      -1-cosx在（0，+∞）上单调递增，
      所以g（x）＞g（0）=0，从而cosx＞1-
      x2
      2
      ，
      所以：cos
      1
      k
      ＞1-
      1
      2k2
      nΣk=1cos
      1
      k
      ＞n-
      1
      2
      nΣk=1
      1
      k2
      ＞n-
      1
      2
      (1+
      1
      1×2
      +
      1
      2×3
      +…+
      1
      (n-1)×n
      )
      =n-1+
      1
      2n
      ＞n-1
      若λ≥1，则λn≥n＞      nΣk=1cos
      1
      k

      若λ＜1，则λn≥      nΣk=1cos
      1
      k
      ＞n-1，
      即λn＞n-1，对一切n∈N      *恒成立，但当n＞
      1
      1-λ
      时，λn＜n-1，矛盾．
      综上：λ≥1，其最小值为1．
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