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  • 设函数f（x）对x≠0的任意实数，恒有f(x)-2f(1x)=x2+1成立．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在(0，4√2]上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）对x≠0的任意实数，恒有f(x)-2f(
      1
      x
      )=x2+1成立．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在(0，
      4√2
      ]上是增函数．

      试题解答

      见解析
      （1）解：由f（x）-2f(
      1
      x
      ) =x2+1，①
      得f(
      1
      x
      ) -2f(x)=
      1
      x2
      +1，②（2分）
      ①+②×②，得-3f（x）=x      2+
      2
      x2
      +3．
      ∴f(x)=-
      1
      3
      (x2+
      2
      x2
      )-1．（4分）
      （2）证明：任取0＜x      1＜x2≤
      4√2
      ．（6分）
      f(x      1) -f(x2) =-
      1
      3
      (x12+
      2
      x12
      )+
      1
      3
      (x22+
      2
      x22
      )
      =
      1
      3
      [(x22-x12)+
      2(x12-x22)
      x12x22
      ]
      =
      1
      3
      (x22 -x12)(1-
      2
      x12x22
      )
      =
      1
      3
      (x22-x12)?
      (x1x2+
      √2
      )(x1x2-
      √2
      )
      x12x22
      （8分）
      ∵0＜x      1＜x2≤
      4√2
      ，
      ∴      x12＜x22，0＜x1x2＜
      √2
      ．
      而x      1x2＞0，x12x22＞0，
      ∴
      1
      3
      (x22-x12)?
      (x1x2+
      √2
      )(x1x2-
      √2
      )
      x12x22
      ＜0．（10分）
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，
      4√2
      ]上是增函数．（12分）
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