已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=-x2+2ax+1+a2，g(x)=x-14+√2-x，（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对于?x1，x2∈[0，2]，f（x1）＞g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=-x²+2ax+1+a²，g(x)=x-

√2-x

，
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对于?x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=-x²+2ax+1+a²，
∴函数的对称轴为x=a，则区间[0，2]的中点为x=1，
当a≤1时，函数f（x）的最小值为f（2）=a²+4a-3；
当a＞1时，函数f（x）的最小值为f（0）=1+a²；
综上函数f（x）的最小值为f（x）_min=

{	a²+4a-3，a≤1 1+a²，a＞1

．
（Ⅱ）设t=

√2-x

，则0≤t≤

√2

，
则x=2-t²，
∴g（x）=m（t）=-t²+t+

，
则对称轴为t=

，
∴g（x）_max=2，
要使f（x₁）＞g（x₂）恒成立，只要f（x）_min＞g（x）_max即可，
∴当a≤1时，f(x)_min=a²+4a-3＞2，
解得：a＜-5，
当a＞1时，f(x)_min=1+a²＞2
解得：a＞1，
综上所述，a∈（-∞，-5）∪（1，+∞）．

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