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  • 定义在正实数集上的函数f（x）满足下列条件：①存在常数a（0＜a＜1），使得f（a）=1；②对任意实数m，当x∈R+时，有f（xm）=mf（x）．（1）求证：对于任意正数x，y，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）证明：f（x）在正实数集上单调递减；（3）若不等式f（loga2（4-x）+2）-f（loga（4-x）8）≤3恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在正实数集上的函数f（x）满足下列条件：
      ①存在常数a（0＜a＜1），使得f（a）=1；②对任意实数m，当x∈R      +时，有f（xm）=mf（x）．
      （1）求证：对于任意正数x，y，f（xy）=f（x）+f（y）；
      （2）证明：f（x）在正实数集上单调递减；
      （3）若不等式f（log      a2（4-x）+2）-f（loga（4-x）8）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：∵x，y均为正数，且0＜a＜1，根据指数函数性质可知，总有实数m，n使得x=am，y=an，
      于是f（xy）=f（a      man）=f（am+n）=（m+n）f（a）=m+n，…（2分）
      又f（x）+f（y）=f（a      m）+f（an）=mf（a）+nf（a）=m+n，∴f（xy）=f（x）+f（y）（5分）
      （2）证明：任设x      1，x2∈R+，x1＞x2，可令x1=x2t（t＞1），t=aα（α＜0）…（7分）
      则由（1）知f（x      1）-f（x2）=f（x2t）-f（x2）=f（x2）+f（t）-f（x2）=f（t）=f（aα）=αf（a）=α＜0，
      即f（x      1）＜f（x2）．∴f（x）在正实数集上单调递减；
      （3）令log      a（4-x）=t，原不等式化为f（t2+2）-f（8t）≤3，其中t＞0．∵f（x）-f（y）=f（x）+f（y-1）=f(
      x
      y
      )且f（a）=1（0＜a＜1），
      不等式可进一步化为f(
      t2+2
      8t
      )≤f(a3)，…．（12分）
      又由于单调递减，∴
      t2+2
      8t
      ≥a3对于t＞0恒成立．…（13分）
      而
      t2+2
      8t
      =
      1
      8
      ((
      √t
      -
      √
      2
      t
      )2+2
      √2
      )≥
      1
      2
      √2
      ，
      且当t=
      √2
      时(
      t2+2
      8t
      )min=
      1
      2
      √2
      ．…..（16分）
      ∴      a3≤
      1
      2
      √2
      ，又0＜a＜1，终得0＜a＜
      √2
      2
      ．…..（18分）
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