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  • 已知k为正常数，方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．（1）求实数u的取值范围；（2）求使不等式（1x1-x1） （1x2-x2）≥（k2-2k）2恒成立的k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知k为正常数，方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．
      （1）求实数u的取值范围；
      （2）求使不等式（
      1
      x1
      -x1） （
      1
      x2
      -x2）≥（
      k
      2
      -
      2
      k
      ）2恒成立的k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由于方程x2-kx+u=0有两个正数解x1，x2．
      所以
      {
      △=k2-4u≥0
      x1+x2=k＞0
      x1x2=u＞0
      …（3分）解得0＜u≤
      k2
      4
      ，
      即实数u的取值范围是（0，
      k2
      4
      ]；…（6分）
      （2）（
      1
      x1
      -x1） （
      1
      x2
      -x2）=x1x2+
      1
      x1x2
      -
      x12+x22
      x1x2
      =u-
      k2-1
      u
      +2．
      令f （u）=u-
      k2-1
      u
      +2（u＞0），所以f′（u）=1+
      k2-1
      u
      ，…（8分）
      （i）若k≥1，因为0＜u≤
      k2
      4
      ，所以f′（u）＞0，从而f （u）在（0，
      k2
      4
      ]为增函数，所以
      u-
      k2-1
      u
      +2≤f （
      k2
      4
      ）=
      k2
      4
      -
      k2-1
      k2
      4
      +2=（
      k
      2
      -（
      2
      k
      ）2，
      即（
      1
      x1
      -x1） （
      1
      x2
      -x2）≥（（
      k
      2
      -（
      2
      k
      ）2不恒成立．…（10分）
      （ii）若0＜k＜1，由f′（u）=1+
      k2-1
      u2
      =0，得u=
      √1-k2
      ，
      当u∈（0，
      √1-k2
      ），f′（u）＜0；当u∈（
      √1-k2
      ，+∞），f′（u）＞0，
      所以函数f （u）在（0，
      √1-k2
      ]上递减，在[
      √1-k2
      ，+∞）上递增，…（12分）
      要使函数f （u）在（0，
      k2
      4
      ]上恒有f （u）≥f （
      k2
      4
      ），必有
      √1-k2
      ≥
      k2
      4
      ，即k4+16 k2-16≤0，…（14分）
      解得0＜k≤2
      √
      √5
      -2
      ．综上，k的取值范围是（0，2
      √
      √5
      -2
      ]．…（16分）
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