试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）为偶函数，它的图象过点A（0，-1），且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≤t（x2+1）总成立，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）为偶函数，它的图象过点A（0，-1），且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0．
      （1）求函数f（x）的表达式；
      （2）若对任意x∈R，不等式f（x）≤t（x      2+1）总成立，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立．
      即a（-x）      4+b（-x）3+c（-x）2+d（-x）+e=ax4+bx3+cx2+dx+e恒成立，
      ∴b=0，d=0，即f（x）=ax      4+cx2+e．
      又由图象过点A（0，-1），可知f（0）=-1，即e=-1．
      又f′（x）=4ax      3+2cx，由题意知函数y=f（x）在点（1，0）的切线斜率为-2，
      故f′（1）=-2且f（1）=0．
      ∴4a+2c=-2且a+c-1=0．可得a=-2，c=3．
      ∴f（x）=-2x      4+3x2-1．
      （2）由f（x）≤t（x      2+1）恒成立，且x2+1恒大于0，
      可得
      -2x4+3x2-1
      x2+1
      ≤t恒成立．
      令g(x)=
      -2x4+3x2-1
      x2+1
      ，设x2+1=m，则m≥1，
      ∴g(x)=
      -2x4+3x2-1
      x2+1
      =
      -2m2+7m-6
      m
      =7-2(m+
      3
      m
      )≤7-4
      √m?
      3
      m
      =7-4
      √3
      （当且仅当m=
      √3
      时，“=”号成立）．
      ∴g（x）的最大值为7-4
      √3
      ，
      故实数t的取值范围是[7-4
      √3
      ，+∞)．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn