已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0，且对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．（I）求函数f（x）的解析式；（II）设函数F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在x∈[-32，2]时的最大值H（t）；（III）在（II）的条件下，若关于的函数y=log2[p-H（t）]的图象与直线y=0无公共点，求实数的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0，且对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设函数F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在x∈[-

，2]时的最大值H（t）；
（III）在（II）的条件下，若关于的函数y=log₂[p-H（t）]的图象与直线y=0无公共点，求实数的取值范围．

试题解答

见解析

解：（I）由已知得a＞0，且-2和0为方程ax²+bx+c=0的两根，∴可设f（x）=ax（x+2），又由f（x）≥（a-1）x-1恒成立得（a-1）²≤0，∴a=1，∴f（x）=x²+2x
（II）F（x）=tf（x）-x-3=tx²+（2t-1）x-3（t≥0），以下分情况讨论F（x）在x∈[-

，2]时的最大值H（t）
（1）当t=0时，F（x）=-x-3在x∈[-

，2]时单调递减，F(x)_max=H(t)=-

；
（2）当t＞0时，F（x）图象的对称轴方程为x₀=-1+

．∵

，∴只需比较x₀与

的大小
①当x₀≤

，即t≥

时，F（x）_max=8t-5；
②当x₀＞

，即0＜t＜

时，F(x)_max=-

，
综上可得H(t)=

{

，0≤t＜

8t-5，t≥

（III）由题意，只需要[p-H（t）]＞0，且p-H（t）=1无解，即[p-H（t）]_max＞0，且1不在[p-H（t）]值域内
由（II）可知H（t）的最小值为-

，即-H（t）的最大值为

，∴

{

＞0

1＞p+

，∴-

＜p＜-

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必修1 人教A版单选题高中数学

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