已知关于t的方程t2-2t+a=0的一个根为1+√3i．(a∈R)（1）求方程的另一个根及实数a的值；（2）是否存在实数m，使对x∈R时，不等式loga（x2+a）≥m2-2km+2k对k∈[-1，2]恒成立？若存在，试求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知关于t的方程t²-2t+a=0的一个根为1+

√3

i．(a∈R)
（1）求方程的另一个根及实数a的值；
（2）是否存在实数m，使对x∈R时，不等式log_a（x²+a）≥m²-2km+2k对k∈[-1，2]恒成立？若存在，试求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

见解析

解：（Ⅰ）由题设知一根为1-

√3

i，
∴a=(1+

√3

i)(1-

√3

i)=4．
（Ⅱ）设存在实数m满足条件，不等式为m²-2km+2k≤log₄（x²+4），
∵log₄（x²+4）的最小值为1，
∴m²-2km+2k≤1对k∈[-1，2]恒成立，
即2（1-m）k+m²-1≤0对k∈[-1，2]恒成立，
设g（k）=2（1-m）k+m²-1
则

{	g(-1)=m²+2m-3≤0 g(2)=m²-4m+3≤0

解得

{	-3≤m≤1 1≤m≤3

∴m=1，
因此存在m=1满足条件．

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