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  • 已知函数f（x）=lnx-14x+34x-1，g（x）=(12)x-m，P={m|任意x1，x2∈（{0，2}），f（x1）≥g（x2）}，Q={m|任意x1∈（0，2），存在x2∈（0，2），f（x1）≥g（x2）}，则P∩Q= $\end{array}$．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=lnx-
      1
      4
      x+
      3
      4x
      -1，g（x）=(
      1
      2
      )x-m，P={m|任意x1，x2∈（{0，2}），f（x1）≥g（x2）}，Q={m|任意x1∈（0，2），存在x2∈（0，2），f（x1）≥g（x2）}，则P∩Q=          $\end{array}$．

      试题解答

      [
      3
      2
      ，+∞)
      解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
      ∵f(x)=ln?x-
      1
      4
      x+
      3
      4x
      -1，
      ∴f′（x）=
      1
      x
      -
      1
      4
      -
      3
      4x2
      =
      -x2+4x-3
      4x2
      =
      -(x-1)(x-3)
      4x2
      ，
      由f′（x）＞0得，1＜x＜3，
      由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3，
      ∴函数f（x）的单调递增区间为（1，3）；单调递减区间为（0，1），（3，+∞）；
      ∴函数f（x）在区间（0，2）上的最小值为f（1）=-
      1
      2
      ，
      ∵g（x）=（
      1
      2
      ）x-m在（0，2）上单调递减，
      ∴
      1
      4
      -m＜g（x）＜1-m．
      则集合P满足1-m≤-
      1
      2
      ，即m≥
      3
      2
      ，即P={m|m≥
      3
      2
      }，
      由于“对任意x      1∈（0，2），总存在x2∈（0，2），使f（x1）≥g（x2）”，
      等价于“g（x）在区间（0，2）上的最小值不大于f（x）在区间（0，2）上的最小值-
      1
      2
      ”
      即
      1
      4
      -m＜-
      1
      2
      ，
      ∴m＞
      3
      4
      ，即Q={m|m＞
      3
      4
      }，
      ∴则P∩Q={m|m≥
      3
      2
      }，
      故答案为：[
      3
      2
      ，+∞)
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