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  • （理）函数f(x)=m-2sinxcosx在区间(0，π2)上单调递减，则实数m的取值范围为 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （理）函数f(x)=
      m-2sinx
      cosx
      在区间(0，
      π
      2
      )上单调递减，则实数m的取值范围为          ．

      试题解答

      （-∞，2]
      解：已知条件实际上给出了一个在区间(0，
      π
      2
      )上恒成立的不等式．
      任取x      1，x2∈(0，
      π
      2
      )，且x1＜x2，则不等式f（x1）＞f（x2）恒成立，即
      m-2sinx1
      cosx1
      ＞
      m-2sinx2
      cosx2
      恒成立．化简得m（cosx2-cosx1）＞2sin（x1-x2）
      由0＜x      1＜x2＜
      π
      2
      可知：cosx2-cosx1＜0，所以m＜
      2sin(x1-x2)
      cosx2-cosx1

      上式恒成立的条件为：m＜(
      2sin(x1-x2)
      cosx2-cosx1
      )在区间(0，
      π
      2
      )上的最小值．
      由于
      2sin(x1-x2)
      cosx2-cosx1
      =
      4sin
      x1-x2
      2
      cos
      x1-x2
      2
      2sin
      x1+x2
      2
      sin
      x1-x2
      2
      =
      2cos
      x1-x2
      2
      sin
      x1+x2
      2
      =
      2(cos
      x1
      2
      cos
      x2
      2
      +sin
      x1
      2
      sin
      x2
      2
      )
      sin
      x1
      2
      cos
      x2
      2
      +cos
      x1
      2
      sin
      x2
      2
      =
      2(1+tan
      x1
      2
      tan
      x2
      2
      )
      tan
      x1
      2
      +tan
      x2
      2

      且当0＜x      1＜x2＜
      π
      2
      时，0＜
      x1
      2
      ，
      x2
      2
      ＜
      π
      4
      ，所以 0＜tan
      x1
      2
      ，tan
      x2
      2
      ＜1，
      从而 (1+tan
      x1
      2
      tan
      x2
      2
      )-(tan
      x1
      2
      +tan
      x2
      2
      )=(1-tan
      x1
      2
      )(1-tan
      x2
      2
      )＞0，
      有
      2(1+tan
      x1
      2
      tan
      x2
      2
      )
      tan
      x1
      2
      +tan
      x2
      2
      ＞2，
      即m的取值范围为（-∞，2]．
      故答案为（-∞，2]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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