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  • 已知偶函数f（x）满足f（x）-f（x+2）=0，且当x∈[0，1]时，f（x）=x?ex，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-2k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知偶函数f（x）满足f（x）-f（x+2）=0，且当x∈[0，1]时，f（x）=x?ex，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-2k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是          ．

      试题解答

      （
      e
      5
      ，
      e
      3
      ）
      解：∵f（x）-f（x+2）=0，
      ∴f（x）=f（x+2），
      即函数的周期是2，
      ∵当x∈[0，1]时，f（x）=x?e      x，
      ∴根据增函数的性质可知，此时函数f（x）单调递增，且f（0）=0，f（1）=e，
      ∴当x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=-x?e      -x，
      由g（x）=f（x）-kx-2k=0，得到f（x）=k（x+2），
      作出两个函数f（x）和g（x）=k（x+2）在[-1，3]的图象，
      由图象可知当x=1时，f（1）=e，
      当x=3时，f（3）=f（1）=e，即B（1，e），C（3，e），
      当直线y=k（x+2）经过点B（1，e）时，此时两个函数有2个交点，此时e=3k，解得k=
      e
      3
      ，
      直线y=k（x+2）经过点C（3，e）时，此时两个函数有4个交点，此时e=5k，解得k=
      e
      5
      ，
      ∴要想使函数g（x）=f（x）-kx-2k有且仅有3个零点，
      则直线应该位于直线AB和AC之间，
      ∴此时直线的斜率k满足
      e
      5
      ＜k＜
      e
      3
      ，
      故k的取值范围是（
      e
      5
      ，
      e
      3
      ），
      故答案为：（
      e
      5
      ，
      e
      3
      ）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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