• 已知定义在R上的函数f(x)对任意x∈R,满足f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=12x,则方程f(x)=12(x∈[-4,4])的解集为 .试题及答案-单选题-云返教育

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      已知定义在R上的函数f(x)对任意x∈R,满足f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=
      1
      2
      x,则方程f(x)=
      1
      2
      (x∈[-4,4])的解集为         

      试题解答


      {-3,1}
      解:由f(x+2)=-f(x),可得f(x+4)=f(x),
      故函数f(x)是周期为4的周期函数.
      由于当-1≤x≤1时,f(x)=
      1
      2
      x,
      故当1≤x≤3时,有-1≤x-2≤1,
      f(x)=f[(x-2)+2]=-f(x-2)=-
      1
      2
      (x-2)=1-
      1
      2
      x.
      故有f(x)=
      {
      1
      2
      x ,-1≤x≤1
      1-
      1
      2
      x ,1≤x≤3

      根据函数的周期性画出函数在[-4,4]上的图象,
      根据题意可得,本题即求函数f(x)的图象和直线y=
      1
      2
      交点的横坐标.
      如图所示:数形结合可得函数f(x)的图象和直线y=
      1
      2
      交点的横坐标为-3、1,
      故答案为 {-3,1}.

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