已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x?y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0（1）试举出满足条件的一个函数（2）证明f（1）=0；（3）讨论函数y=f（x）在（0，+∞）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x?y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0
（1）试举出满足条件的一个函数
（2）证明f（1）=0；
（3）讨论函数y=f（x）在（0，+∞）上的单调性．

见解析

解．（1）y=log₂^x．
（2）证明：因为对于任意x，y∈（0，+∞），有f（x?y）=f（x）+f（y）
所以可令x=y=1，则有f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0．

（3）设任意实数x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，
则f(x₁)-f(x₂)=f(

x₁

x₂

?x₂)-f(x₂)=f(

x₁

x₂

)+f(x₂)-f(x₂)=f(

x₁

x₂

)．
因为x₁，x₂∈（0，+∞），x₂＜x₁
所以

x₁

x₂

＞1，又当x＞1时有f（x）＞0
所以f(

x₁

x₂

)＞0即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f（x₁）＞f（x₂）函数在（0，+∞）是单调增函数．

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