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  • 已知函数f(x)在(-1，1)上有意义，f(12)=-1，且对任意的x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)．（1）若数列{xn}满足x1=12，xn+1=2xn1+x2n(n∈N*)，求f(xn)．（2）求1+f(15)+f(111)…+f(1n2+3n+1)+f(1n+2)的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)在(-1，1)上有意义，f(
      1
      2
      )=-1，且对任意的x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(
      x+y
      1+xy
      )．
      （1）若数列{x      n}满足x1=
      1
      2
      ，xn+1=
      2xn
      1+x
      2
      n
      (n∈N*)，求f(xn)．
      （2）求1+f(
      1
      5
      )+f(
      1
      11
      )…+f(
      1
      n2+3n+1
      )+f(
      1
      n+2
      )的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵1+x
      2
      n
      ≥2|xn|∴|
      2xn
      1+x
      2
      n
      |≤1又x1=
      1
      2
      ．∴|
      2xn
      1+x
      2
      n
      |＜1…（3分） f(x1)=f(
      1
      2
      )=-1
      而f(x      n+1)=f(
      2xn
      1+x
      2
      n
      )=f(
      xn+xn
      1+xnxn
      )=f(xn)+f(xn)=2f(xn)．…（5分）∴
      f(xn+1)
      f(xn)
      =2∴{f（xn）}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，故f（xn）=-2n-1…（7分）
      （2）由题设，有f(0)+f(0)=f(
      0+0
      1+0
      )=f(0)，故f(0)=0…（8分）
      又x∈(-1，1)，有f(x)+f(-x)=f(
      x-x
      1-x2
      )=f(0)=0，
      得f（-x）=-f（x），故知f（x）在（-1，1）上为奇函数…（10分） 由
      1
      k2+3k+1
      =
      1
      (k+1)(k+2)-1
      =
      1
      (k+1)(k+2)
      1-
      1
      (k+1)(k+2)
      =
      1
      k+1
      -
      1
      k+2
      1-
      1
      (k+1)(k+2)

      得f(
      1
      k2+3k+1
      )=f(
      1
      k+1
      )+f(-
      1
      k+2
      )=f(
      1
      k+1
      )-f(
      1
      k+2
      )，
      于是      nΣk=1f(
      1
      k2+3k+1
      )=f(
      1
      2
      )-f(
      1
      n+2
      )=-1-f(
      1
      n+2
      )．
      故1+f(
      1
      5
      )+f(
      1
      11
      )…+f(
      1
      n2+3n+1
      )+f(
      1
      n+2
      )=0．…（12分）
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