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  • 设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且f(xy)=f(x)-f(y)．（1）求f（1）；（2）求证f（xy）=f（x）+f（y）；（3）若f（2）=1，解不等式f(x)-f(1x-3)≤2．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且f(
      x
      y
      )=f(x)-f(y)．
      （1）求f（1）；
      （2）求证f（xy）=f（x）+f（y）；
      （3）若f（2）=1，解不等式f(x)-f(
      1
      x-3
      )≤2．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x=y≠0，可得f（1）=f（x）-f（x）=0，
      ∴f（1）=0．
      （2）由题意得：f(xy)-f(y)=f(
      xy
      y
      )=f(x)，
      ∴f（xy）=f（x）+f（y）．
      （3）f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2，∴f(x)-f(
      1
      x-3
      )≤2=f(4)，
      ∴f（x（x-3））≤f（4），
      因为：f（1）=0，f（2）=1，于是f（2）＞f（1），
      而函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
      故函数y=f（x）在区间（0，+∞）上单调增函数，
      于是原不等式可化为
      {
      x(x-3)≤4
      x＞0
      1
      x-3
      ＞0
      ，∴3＜x≤4
      ∴原不等式的解集为（3，4]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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