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  • 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）-3（1）求f（1）的值；（2）求证：f(x)+f(1x)=6(x＞0)；（3）若x＞1时，f（x）＜3，判断f（x）在其定义域上的单调性，并证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）-3
      （1）求f（1）的值；
      （2）求证：f(x)+f(
      1
      x
      )=6(x＞0)；
      （3）若x＞1时，f（x）＜3，判断f（x）在其定义域上的单调性，并证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由已知已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因此令x=y=1得
      f（1?1）=f（1）+f（1）-3，可得：
      f（1）=3 （2分）
      （2）由已知以及（1）的结论可得f(1)=f(x?
      1
      x
      )=f(x)+f(
      1
      x
      )-3=3
      即有：f(x)+f(
      1
      x
      )=6(x＞0) （7分）
      （3）f（x）是（0，+∞）上的减函数（9分），证明如下：
      设x      1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
      ∵
      x2
      x1
      ＞1，∴f(
      x2
      x1
      )＜3，f(x2)+f(
      1
      x1
      )-3＜3，
      f(x      2)＜6-f(
      1
      x1
      )=f(x1)．
      ∴f（x）是（0，+∞）上的减函数． （14分）
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