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  • 设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件；①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1．（Ⅰ）求f(1)，f(19)的值；（Ⅱ）证明f（x）在R+是减函数；（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件；
      ①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
      ②当x＞1时，f（x）＜0；
      ③f（3）=-1．
      （Ⅰ）求f(1)，f(
      1
      9
      )的值；
      （Ⅱ）证明f（x）在R      +是减函数；
      （Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）令x=y=1易得f（1）=0，
      而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
      且f(9)+f(
      1
      9
      )=f(1)=0，得f(
      1
      9
      )=2.
      （Ⅱ）取定义域中的任意的x      1，x2
      且0＜x1＜x2?
      x2
      x1
      ＞1 ?f(
      x2
      x1
      )＜0
      ∴f(x      2)=f(
      x2
      x1
      ?x1)=f(
      x2
      x1
      )+f(x1)＜f(x1)
      ∴f（x）在R      +上为减函数．
      （Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f(
      1
      9
      )，其中0＜x＜2，
      由可（Ⅱ）得：
      {
      x(2-x)＞
      1
      9
      0＜x＜2

      解得x的范围是(1-
      2
      √2
      3
      ，1+
      2
      √2
      3
      )．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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