函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是减函数，对任意非零实数m、n，都有f（m?n）=f（m）+f（n）．（1）求证：f（1）=f（-1）=0；（2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）+f（x-1）≤2．试题及答案-单选题-云返教育

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函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是减函数，对任意非零实数m、n，都有f（m?n）=f（m）+f（n）．
（1）求证：f（1）=f（-1）=0；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）+f（x-1）≤2．

试题解答

见解析

解：（1）令m=n=1
∵f（m?n）=f（m）+f（n）．
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0（2分）
令m=-1，n=-1
f（1）=f（-1）+f（-1）=0
∴2f（-1）=0，f（-1）=0；（2分）
∴f（1）=f（-1）=0；
（2）∵f（x）在其定义域（0，+∞）上为减函数，
f（2）=1，∴f（4）=2，
又∵f（m?n）=f（m）+f（n）．
∴不等式f（x+3）+f（x-1）≤2即 f[（x+3）（x-1）]≤f（4），
因为f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），所以f（x）是偶函数，在（-∞，0）上是增函数
∵（x+3）（x-1）=（x+1）²-4≥-4，
∴当（x+3）（x-1）为负数时，有f[（x+3）（x-1）]≥f（-4）=2，不成立
∴原不等式化为（x+3）（x-1）≥4，解之得x≤-1-2

√2

或x≥-1+2

√2

，
因此，不等式的解集是 {x|x≤-1-2

√2

或x≥-1+2

√2

}．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题