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  • 设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）（1）求证：f（1）=f（-1）=0；（2）求证：y=f（x）是偶函数；（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式f(x)+f(x-12)≤0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）
      （1）求证：f（1）=f（-1）=0；
      （2）求证：y=f（x）是偶函数；
      （3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式f(x)+f(x-
      1
      2
      )≤0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1）
      ∴f（1）=0
      令x      1=x2=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）∴f（-1）=0
      （2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，
      令x      1=x，x2=-1
      ∴f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
      ∴f（x）=f（-x）
      所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．
      （3）不等式f(x)+f(x-
      1
      2
      )≤0．
      即f[x(x-
      1
      2
      )]≤f(1)
      ∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数
      且f（x）为（0，+∞）上的增函数，
      ∴|x(x-
      1
      2
      )|≤1，
      解得：
      1-
      √17
      4
      ≤x＜0或
      1
      2
      ＜x≤
      1+
      √17
      4
      ．
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