见解析
解：（1）令x=y=0．则f（0）=f（0）+f（0）所以f（0）=0
（2）令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x）
即f（-x）=-f（x）
故f（x）为奇函数；
例如：y=-2x，y=3x；
（3）1）任取x1＜x2，则x2-x1＞0，故 f（x2-x1）＜0
又有题设知 f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0
则该函数f（x2）＜f（x1）
所以该函数f（x）为（-∞，+∞）单调减函数
2）由题设当x≥0时，f（x）＜0，结合上证函数是奇函数可得x＜0时，f（x）＞0
又由1）知函数f（x）为（-∞，+∞）单调减函数故知函数|f（x）|在（-∞，0]上减，在[0，+∞）上增且f（0）=0
故有：
当a＞0时，有两解；
当a=0时，有一解；
当a＜0时，无解；
