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  • 已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），且f（x）≠0．（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；（Ⅱ）若f（x）满足：当x＜0时，f（x）＞1，猜想函数f（x）的性质，并加以证明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求满足f（x+4）＞1f(x)的x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），且f（x）≠0．
      （Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；
      （Ⅱ）若f（x）满足：当x＜0时，f（x）＞1，猜想函数f（x）的性质，并加以证明；
      （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求满足f（x+4）＞
      1
      f(x)
      的x的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵f（x1+x2）=f（x1）?f（x2），
      ∴满足条件函数可以是指数函数y=a      x（a＞0且a≠1），如f（x）=2x；
      （Ⅱ）类比指数函数的性质得出f（x）的几个性质：
      ①函数f（x）的图象过定点（0，1）；②f（x）值域是（0，+∞）；
      ③函数f（x）在R上是减函数．
      证明：①由于f（x）=f（x+0）=f（x）f（0），而f（x）≠0，则f（0）=1；
      ②由于f（x）=f（
      x
      2
      +
      x
      2
      ）=f（
      x
      2
      ）f（
      x
      2
      ）=f2(
      x
      2
      )≥0，而f（x）≠0，则f（x）＞0；
      ③任取x      1，x2，且x1＜x2，则x1-x2＜0，
      ∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（x      1-x2）＞1，
      又∵函数f（x）＞0，
      ∴f（x      1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x2）f（x1-x2）＞f（x2），
      则f（x）为R上的减函数，
      （Ⅲ）由（Ⅱ）得，f（0）=1，
      ∵f（x+4）＞
      1
      f(x)
      ，且f（x）＞0，
      ∴f（x+4）f（x）＞1，即f（x+4+x）＞f（0），
      ∵f（x）为R上的减函数，
      ∴x+4+x＜0，解得x＜-2．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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