见解析
（1）证明：设x1＞x2，则x1-x2＞0，而f（a+b）=f（a）+f（b）
∴f（x1）-f（x2）=f（（x1-x2）+x2）-f（x2）
=f（x1-x2）+f（x2）-f（x2）
=f（x1-x2），
又当x＞0时，f（x）＜0恒成立，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），
得f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函数y=f（x）是奇函数．
（3）（方法一）由f（x2-2）+f（x）＜0，
得f（x2-2）＜-f（x），
又y=f（x）是奇函数，
即f（x2-2）＜f（-x），
又y=f（x）在R上是减函数，
∴x2-2＞-x解得x＞1或x＜-2．
（方法二））由f（x2-2）+f（x）＜0且f（0）=0，
得f（x2-2+x）＜f（0），
又y=f（x）在R上是减函数，
∴x2-2+x＞0，
解得x＞1或x＜-2．
