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  • 已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．（1）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f((a+1)x-1x+1)＞0，a∈R}，A∩B=?，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．
      （1）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数；
      （2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f(
      (a+1)x-1
      x+1
      )＞0，a∈R}，A∩B=?，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）在（0，+∞）上为增函数，证明如下：
      设0＜x      1＜x2＜+∞，则由条件“对任意正数x，x都有f（xy）=f（x）+f（y）”，
      可知：f(x      2)=f(
      x2
      x1
      ?x1)=f(
      x2
      x1
      )+f(x1)，
      ∵
      x2
      x1
      ＞1∴由已知条件f(
      x2
      x1
      )＞0，
      ∴f(x      2)-f(x1)=f(
      x2
      x1
      )＞0即f(x2)＞f(x1)，
      因此f（x）在（0，+∞）上为增函数．…（4分）
      （2）∵f（3）=1∴f（9）=2
      ∴f（x）＞f（x-1）+2?f（x）＞f（9x-9），
      ∴
      {
      x＞9x-9
      x-1＞0
      ，
      从而A={x|1＜x＜
      9
      8
      }，…（6分）
      在已知条件中，令x=y=1，得f（1）=0． …（7分）
      ∵f(
      (a+1)x-1
      x+1
      )＞0=f(1)?
      ax+x-1
      x+1
      ＞1?
      ax-2
      x+1
      ＞0?(ax-2)(x+1)＞0…（9分）
      ∴①a=0时 B={x|x＜-1}，满足 A∩B=?
      ②a＞0时 B={x|x＜-1或x＞
      2
      a
      }
      ∵A∩B=?∴
      2
      a
      ≥
      9
      8
      ?a≤
      16
      9

      ③a＜0时，不等式（ax-2）（x+1）＞0的解集在两个负数之间，满足 A∩B=?
      综上，a的取值范围是a≤
      16
      9
      …12分．
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