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  • 已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f（x）＞0；（1）验证函数f(x)=ln1-x1+x是否满足这些条件；（2）若f(a+b1+ab)=1，f(a-b1-ab)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．（3）若f(-12)=1，试解关于x的方程f(x)=-12．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
      x+y
      1+xy
      )，且当x＜0时，f（x）＞0；
      （1）验证函数f(x)=ln
      1-x
      1+x
      是否满足这些条件；
      （2）若f(
      a+b
      1+ab
      )=1，f(
      a-b
      1-ab
      )=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
      （3）若f(-
      1
      2
      )=1，试解关于x的方程f(x)=-
      1
      2
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由
      1-x
      1+x
      ＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）
      又f(x)+f(y)=ln
      1-x
      1+x
      +ln
      1-y
      1+y
      =ln(
      1-x
      1+x
      ?
      1-y
      1+y
      )=ln
      1-x-y+xy
      1+x+y+xy
      =ln
      1-
      x+y
      1+xy
      1+
      x+y
      1+xy
      =f(
      x+y
      1+xy
      )
      又当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴
      1-x
      1+x
      ＞1∴ln
      1-x
      1+x
      ＞0
      故f(x)=ln
      1-x
      1+x
      满足这些条件．
      （2）令x=y=0，∴f（0）=0，
      令y=-x，有f（-x）+f（x）=f（0）=0，∴f（x）为奇函数
      由条件得
      {
      f(a)+f(b)=1
      f(a)-f(b)=2
      ，解得f(a)=
      3
      2
      ，f(b)=-
      1
      2
      ．
      （3）设-1＜x      1＜x2＜1，则x1-x2＜0，1-x1x2＞0，
      x1-x2
      1-x1x2
      ＜0，
      则f(x      1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
      x1-x2
      1-x1x2
      )＞0，f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x）在（-1，1）上是减函数
      ∵f(-
      1
      2
      )=1∴f(
      1
      2
      )=-1
      原方程即为2f(x)=-1?f(x)+f(x)=f(
      2x
      1+x2
      )=f(
      1
      2
      )，
      ∴
      2x
      1+x2
      =
      1
      2
      ?x2-4x+1=0?x=2±
      √3

      又∵x∈(-1，1)∴x=2-
      √3

      故原方程的解为x=2-
      √3
      ．
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