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  • 设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；（1）求f（1）的值；（2）求证：0＜x＜1时，f（x）＞0；（3）判断f（x）的单调性并证明之；（4）若f（12）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；
      （1）求f（1）的值；
      （2）求证：0＜x＜1时，f（x）＞0；
      （3）判断f（x）的单调性并证明之；
      （4）若f（
      1
      2
      ）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
      解得f（1）=0，
      令x=-x、y=1得：f（-x）=f（x）+f（1）=f（x）
      ∴f（x）为偶函数；
      （2）函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
      证明如下：设x      1＞x2＞0，则
      x1
      x2
      ＞1，
      ∵当x＞1时f（x）＜0，f（xy）=f（x）+f（y），
      ∴f（x      1）=f（x2?
      x1
      x2
      ）=f（x2）+f（
      x1
      x2
      ），
      则f（
      x1
      x2
      ）=f（x1）-f（x2）＜0，
      即f（x      1）＜f（x2），
      ∴f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
      （3）由（1）知f（1）=0，
      由（2）知，f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
      ∴0＜x＜1时，f（x）＞f（1）=0，
      （4）∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（
      1
      2
      ）=2
      ∴f（x）+f（2-x）＜2化为：f[x（2-x）]＜f（
      1
      2
      ），
      ∵f（x）在（0，+∞）为单调减函数，
      ∴
      {
      x＞0
      2-x＞0
      x(2-x)＞
      1
      2
      ，解得0＜x＜1+
      √2
      2
      ，
      故所求的解集为：（0，1+
      √2
      2
      ）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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