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  • 函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）?f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=19．（1）求证：f(x)f(1x)=1(x＞0)；（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明；（3）若f（m）=3，求正实数m的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）?f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=
      1
      9
      ．
      （1）求证：f(x)f(
      1
      x
      )=1(x＞0)；
      （2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明；
      （3）若f（m）=3，求正实数m的值．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）令x=1，y=2，得f（2）=f（1）f（2），又f(2)=
      1
      9
      ，
      ∴f（1）=1，…（2分）
      令y=
      1
      x
      ，得f(x?
      1
      x
      )=f(x)f(
      1
      x
      )=f(1)=1； …（4分）
      （2）任取x      1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
      x2
      x1
      ＞1，0＜f(
      x2
      x1
      )＜1，
      ∴f（x      1）-f（x2）=f（x1）-f（
      x2
      x1
      ?x1）=f（x1）-f（
      x2
      x1
      ）f（x1）=f（x1）[1-f（
      x2
      x1
      ）]，…（7分）
      而当x＞0时，f(x)=f(
      √x
      ?
      √x
      )=[f(
      √x
      )]2≥0，且由（1）可知，f(x)f(
      1
      x
      )=1，f（x）≠0，
      则当x＞0时，f（x）＞0，
      ∴f（x      1）＞0，1-f（
      x2
      x1
      ）＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，
      则f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数；…（10分）
      （3）∵f(2)=
      1
      9
      ，
      ∴f（
      1
      2
      ）=
      1
      f(2)
      =9，
      又f(
      1
      2
      )=f(
      √2
      2
      ?
      √2
      2
      )=[f(
      √2
      2
      )]2，且f(
      √2
      2
      )＞0，
      ∴f（
      √2
      2
      ）=3，…（13分）
      ∵f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，m是正实数，
      ∴m=
      √2
      2
      …（16分）
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