（文）定义在R上函数f（x）对任意实数x、y∈R都有f（x+y）=f（x）?f（y），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）证明当x＞0时，0＜f（x）＜1；（2）判断函数f（x）的单调性并证明；（3）如果对任意实数x、y有f（x2）?f（y2）≤f（axy）恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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（文）定义在R上函数f（x）对任意实数x、y∈R都有f（x+y）=f（x）?f（y），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）证明当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）如果对任意实数x、y有f（x²）?f（y²）≤f（axy）恒成立，求实数a的取值范围．

试题解答

见解析

证明：（1）令x=0，y=-1则f （0-1）=f （0）?f （-1）（∵f （-1）≠0）?f （0）=1 …（2分）
当 x＜0时，f （x）＞1＞0，
当 x＞0时，-x＜0
∴f （-x）＞1＞0，又f （0）=f （-x）?f （x）=1，
∴0＜f （x）=

f(-x)

＜1，即对任意x＞0，恒有0＜f （x）＜1 …（5分）
（2）f （x）在R上是减函数 …（7分）
证明：设x₁、x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂；
f （x₂）-f （x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f （x₁）
=f （x₂-x₁）?f （x₁）-f （x₁）=[f （x₂-x₁）-1]f （x₁），
∵x₂-x₁＞0，
∴f （x₂-x₁）＜1，
∴f （x₂）-f （x₁）＜0，
∴[f （x₂-x₁）-1]f （x₁）＜0，
∴f （x）在（-∞，+∞）上是减函数． …（10分）
（3）∵f （x²）?f （y²）=f （x²+y²）≤f （axy），
∴x²+y²≥axy 对任意实数x、y恒成立，
即x²+y²≥|axy|=|a||x||y|对任意实数x、y恒成立，
∴|a|≤|

|+|

|对任意实数x、y恒成立，
∴|a|≤2，即-2≤a≤2为所求．…（14分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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