若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）?f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）求证：f（x）＞0；（2）求证：f（x）为减函数；（3）当f(4)=116时，解不等式f(x-3)?f(5-x2)≤14．试题及答案-单选题-云返教育

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若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）?f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）为减函数；
（3）当f(4)=

时，解不等式f(x-3)?f(5-x²)≤

．

试题解答

见解析

解：（1）设x＞0，则-x＜0，在原式中令b=0得f（a）=f（a）?f（0），故f（0）=1，
再令a=x，b=-x，则f（0）=f（x）?f（-x），所以f（x）=

f(-x)

，因为-x＜0，所以f（-x）＞1，
所以0＜f（x）＜1，综上f（x）＞0
（2）任取两个实数x₁和x₂，且x₁＜x₂，则x₂=x₁+m，且m＞0，所以0＜f（m）＜1
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+m）-f（x₁）=f（x₁）?f（m）-f（x₁）=f（x₁）（f（m）-1）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），所以f（x）为减函数
（3）由f(4)=

得f（2）=

，f(x-3)?f(5-x²)≤

，即f（x-3+5-x²）≤f（2）
由（2）可知x-3+5-x²≥2，即x-x²≥0，所以x∈[0，1]．

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必修1 人教A版单选题高中数学

若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）?f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）求证：f（x）＞0；（2）求证：f（x）为减函数；（3）当f(4)=116时，解不等式f(x-3)?f(5-x2)≤14．试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题