试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 已知函数f（x）=-2x2+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；（2）用函数的单调性的定义证明：当a≤1时，f（x）在区间[1，+∞）上为减函数；（3）求对于任意a∈[-3，+∞），函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方的实数x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=-2x2+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
      （1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
      （2）用函数的单调性的定义证明：当a≤1时，f（x）在区间[1，+∞）上为减函数；
      （3）求对于任意a∈[-3，+∞），函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方的实数x的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），x∈R恒成立，
      即：-2x      2+（a+3）x+1-2a=-2x2-（a+3）x+1-2a
      ∴a=-3
      ∴f（x）=-2x      2+7；易知其对称轴为：x=0
      ∴当x=0时，f（x）      max=7，当x=3时，f（x）min=-11；
      （2）当a≤1时，f（x）=-2x      2+（a+3）x+1-2a，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．
      设x      1＞x2≥1，则f（x1）-f（x2）=）=-2x12+（a+3）x1+1-2a-（-2x22+（a+3）x2+1-2a，）
      =-2（x      12-x22）+（a+3）（x1-x2）
      =（x      1-x2）[-2（x1+x2）+a+3]
      ∵x      1＞x2≥1，则x1-x2＞0，且-2（x1+x2）＜-4，
      ∵a≤1，∴a+3≤4，∴-2（x      1+x2）+a+3＜0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      故函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．
      （3）对于任意a∈[-3，+∞），函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，
      即-2x      2+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在a∈[-3，+∞）上恒成立，
      即（x-3）a+2x+1＞0在a∈[-3，+∞）上恒成立，
      设h（a）=（x-3）a+2x+1，
      ∴
      {
      x-3＞0
      h(-3)＞0
      ，即
      {
      x-3＞0
      -3(x-3)+2x+1＞0
      ，
      解得3＜x＜10，
      ∴实数x的取值范围为（3，10）．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

    集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn