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  • 设函数f（x）=x2+|x-a|（x∈R，a为实数）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）设a＞12，求函数f（x）的最小值；（3）设a＞0，g（x）=f(x)x，x∈（0，a]，若g（x）在区间（0，a]上是减函数，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=x2+|x-a|（x∈R，a为实数）．
      （1）讨论函数f（x）的奇偶性；
      （2）设a＞
      1
      2
      ，求函数f（x）的最小值；
      （3）设a＞0，g（x）=
      f(x)
      x
      ，x∈（0，a]，若g（x）在区间（0，a]上是减函数，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=x2+|x-a|，
      ∴f（-x）=x      2+|-x-a|=x2+|x+a|，
      若a=0，则f（-x）=f（x）=x      2+|x|，此时函数为偶函数，
      若a≠0，则f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），此时函数为非奇非偶函数．
      （2）当x≥a时，f（x）=x      2+|x-a|=x2+x-a=（x+
      1
      2
      ）2-（a+
      1
      4
      ），
      当x＜a时，f（x）=x      2+|x-a|=x2-x+a=（x-
      1
      2
      ）2+（a-
      1
      4
      ），
      ∵a＞
      1
      2
      ，
      ∴当x≥a时，函数的最小值为f（
      1
      2
      ）=1-a-
      1
      4
      =
      3
      4
      -a，
      当x≤a时，函数的最小值为f（
      1
      2
      ）=a-
      1
      4
      ，
      ∵a＞
      1
      2
      ，∴a-
      1
      4
      -（
      3
      4
      -a）=2a-1＞0，
      ∴a-
      1
      4
      ＞
      3
      4
      -a，
      即函数的最小值为
      3
      4
      -a．
      （3）（2）当x∈（0，a]时，
      f（x）=x      2-x+a，g（x）=
      f(x)
      x
      =x+
      a
      x
      +1，
      设x      1，x2∈（0，a]，且x2＞x1＞0，于是x1x2-a2＜0，x1x2＞0．
      ∵f（x      1）-f（x2）=x1+
      a
      x1
      -1-(x2+
      a
      x2
      -1)=（x1-x2）（1-
      a
      x1x2
      ）＞0
      ∵x      1，x2∈（0，a]且x1＜x2，
      ∴x      1x2＜a2，
      即a≥a      2，
      解得0＜a≤1，
      因此实数a 的取值范围是（0，1]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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