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已知函数f（x）=2x+1+k（k∈R），g（x）=2x-1（1）若关于x的方程f（x）=g（x）总有实数根，求k的取值范围；（2）若当x∈（1，+∞）时，f（x）-g（x）＞1恒成立，求k的取值范围；（3）若函数F（x）=f(x)g(x)是奇函数，判断F（x）的单调性并给予证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=2^x+1+k（k∈R），g（x）=2^x-1
（1）若关于x的方程f（x）=g（x）总有实数根，求k的取值范围；
（2）若当x∈（1，+∞）时，f（x）-g（x）＞1恒成立，求k的取值范围；
（3）若函数F（x）=

f(x)

g(x)

是奇函数，判断F（x）的单调性并给予证明．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）=2^x+1+k（k∈R），g（x）=2^x-1
∴由f（x）=g（x）得2^x+1+k=2^x-1，
即k=2^x-1-2^x+1=2^x-1-2?2^x=-2^x-1，
∵2^x-1＜-1，
∴要使f（x）=g（x）总有实数根，则k＜-1，
即k的取值范围是k＜-1；
（2）∵f（x）-g（x）=2^x+1+k-（2^x-1）=2^x+k+1，
∴由f（x）-g（x）＞1得：
f（x）-g（x）=2^x+1+k＞1，
即k＞-2^x在x∈（1，+∞）时恒成立，
∵当x∈（1，+∞）时，-2^x＜-2，
即k≥2．
（3）F（x）=

f(x)

g(x)

2^x+1+k

2^x-1

2?2^x+k

2^x-1

，
若F（x）=

f(x)

g(x)

是奇函数，
则F（-x）=-F（x），
即

2?2^-x+k

2^-x-1

2?2^x+k

2^x-1

，
∴

2+k?2^x

1-2^x

2?2^x+k

2^x-1

2?2^x+k

1-2^x

，
即2+k?2^x=2?2^x+k，
解得k=2．
∴F（x）=

f(x)

g(x)

2^x+1+2

2^x-1

，定义域为{x|x≠0}，
∵

2^x+1+2

2^x-1

=2?

2^x+1

2^x-1

=2?

2^x-1+2

2^x-1

=2(1+

2^x-1

)
∴当x＞0时，y=2^x-1为增函数，且2^x-1＞0，此时y=

2^x-1

为减函数，∴F（x）=

f(x)

g(x)

2^x+1+2

2^x-1

单调递减．
当x＜0时，y=2^x-1为增函数，且2^x-1＜0，此时y=

2^x-1

为减函数，∴F（x）=

f(x)

g(x)

2^x+1+2

2^x-1

单调递减．
综上函数F（x）的单调递减区间为（0，+∞）和（-∞，0）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题