若f(x)={ax2+1，x≥0(a2-1)eax，x＜0（a≠1），在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

若f(x)=

{	ax²+1，x≥0 (a²-1)e^ax，x＜0

（a≠1），在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（　　）

解：f（x）在定义域（-∞，+∞）上是单调函数时，
①函数的单调性是增函数时，可得当x=0时，（a²-1）e^ax≤ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得-

√2

≤a≤

√2

∵x≥0时，y=ax²+1是增函数，∴a＞0
又∵x＜0时，（a²-1）e^ax是增函数，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：1＜a＜

√2

②函数的单调性是减函数时，可得当x=0时，（a²-1）e^ax≥ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得a≤-

√2

或a≥

√2

．
∵x≥0时，y=ax²+1是减函数，∴a＜0
又∵x＜0时，（a²-1）e^ax是增函数，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：a＜-

√2

综上所述，得a∈(-∞，-

√2

]∪(1，

√2

]
故选：C

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