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  • 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；（3）试求当x取何值时，以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
      （1）求证：△PFA∽△ABE；
      （2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；
      （3）试求当x取何值时，以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：∵正方形ABCD，
      ∴AD∥BC．（1分）
      ∴∠ABE=90°．
      ∴∠PAF=∠AEB．（1分）
      又∵PF⊥AE，
      ∴∠PFA=∠ABE=90°．（1分）
      ∴△PFA∽△ABE．

      （2）解：情况1，当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，
      则有PE∥AB（1分）
      ∴四边形ABEP为矩形．（1分）
      ∴PA=EB=2，即x=2．（2分）
      情况2，当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
      ∵∠PAF=∠AEB，
      ∴∠PEF=∠PAF．
      ∴PE=PA．
      ∵PF⊥AE，
      ∴点F为AE的中点．（1分）
      ∵AE=
      √AB2+BE2
      =
      √42+22
      =
      √20
      =2
      √5
      ，
      ∴EF=
      1
      2
      AE=
      √5
      ．（1分）
      ∵
      PE
      AE
      =
      EF
      EB
      ，即
      PE
      2
      √5
      =
      √5
      2
      ，
      ∴PE=5，即x=5．（2分）
      ∴满足条件的x的值为2或5．

      （3）解：

      作DH⊥AE，则⊙D与线段AE的距离d即为DH的长，可得d=
      8
      √5
      5

      当点P在AD边上时，⊙D的半径r=DP=4-x；
      当点P在AD的延长线上时，⊙D的半径r=DP=x-4；
      如图1时，⊙D与线段AE相切，此时d=r，即
      8
      √5
      5
      =4-x，∴x=4-
      8
      √5
      5
      ；
      如图2时，⊙D与线段AE相切，此时d=r，即
      8
      √5
      5
      =x-4，∴x=4+
      8
      √5
      5
      ；
      如图3时，DA=PD，则PA=x=2DA=8，
      如图4时，当PD=ED时，
      ∵DE=
      √CD2+EC2
      =2
      √5
      ，
      ∴PA=PD+AD=4+2
      √5
      ，
      ∴当x=4-
      8
      √5
      5
      或x=4+
      8
      √5
      5
      或8＜x≤4+2
      √5
      时，⊙D与线段AE只有一个公共点．（3分）
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