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  • （2008?宿迁）如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动．（1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；（2）当直线CD与⊙O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；（3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2008?宿迁）如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动．
      （1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；
      （2）当直线CD与⊙O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；
      （3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
      ∴AD⊥CD，
      ∵A、O、D在同一条直线上，
      ∴∠ODC=90°，
      ∴直线CD与⊙O相切．

      （2）解：直线CD与⊙O相切分两种情况：
      ①如图1，设D      1点在第二象限时，
      过D      1作D1E1⊥x轴于点E1，设此时的正方形的边长为a，
      ∴（a-1）      2+a2=52，
      ∴a=4或a=-3（舍去），
      ∵Rt△BOA∽Rt△D      1OE1
      ∴
      OE1
      OA
      =
      D1E1
      BA
      =
      OD1
      OB
      ，
      ∴OE      1=
      3
      5
      ，D1E1=
      4
      5
      ，
      ∴      D1(-
      3
      5
      ，
      4
      5
      )．
      ∴直线OD的函数关系式为y=-
      4
      3
      x．
      ∵AD      1⊥CD1，
      ∴设直线CD      1的解析式为y=
      3
      4
      x+b，
      把D      1（-
      3
      5
      ，
      4
      5
      ）代入解析式得b=
      5
      4
      ；
      ∴函数解析式为y=
      3
      4
      x+
      5
      4
      ．
      ②如图2，设D      2点在第四象限时，过D2作D2E2⊥x轴于点E2，
      设此时的正方形的边长为b，则（b+1）      2+b2=52，
      解得b=3或b=-4（舍去）．
      ∵Rt△BOA∽Rt△D      2OE2，
      ∴
      OE2
      OA
      =
      D2E2
      BA
      =
      OD2
      OB
      ，
      ∴OE      2=
      4
      5
      ，D2E2=
      3
      5
      ，
      ∴      D2(
      4
      5
      ，-
      3
      5
      )，
      ∴直线OD的函数关系式为y=-
      3
      4
      x．
      ∵AD      2⊥CD2，
      ∴设直线CD      2的解析式为y=
      4
      3
      x+b，
      把D      2（
      4
      5
      ，-
      3
      5
      ）代入解析式得b=-
      5
      3
      ；
      ∴函数解析式为y=
      4
      3
      x-
      5
      3
      ．

      （3）解：设D（x，y      0），
      ∴      y0=±
      √1-x2
      ，
      ∵B（5，0），
      ∴BD      2=（5-x）2+（1-x2）=26-10x，
      ∴S=
      1
      2
      BD2=
      1
      2
      （26-10x）=13-5x，
      ∵-1≤x≤1，
      ∴S      最大值=13+5=18，S最小值=13-5=8．
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