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  • 如图1，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示），若AB=2√5，AD=2，求线段BC和EG的长．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图1，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
      （1）求证：BC为⊙O的切线；
      （2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示），若AB=2
      √5
      ，AD=2，求线段BC和EG的长．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：连接OE，OC；（1分）
      ∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
      ∴△OEC≌△OBC（SSS）
      ∴∠OBC=∠OEC （2分）
      又∵DE与⊙O相切于点E
      ∴∠OEC=90° （3分）
      ∴∠OBC=90°
      ∴BC为⊙O的切线．（4分）

      （2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
      ∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B
      ∴DA=DE，CE=CB，
      设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2，
      在Rt△DFC中，(x+2)      2-(x-2)2=(2
      √5
      )2，
      解得：x=
      5
      2
      ；（6分）
      ∵AD∥BG，
      ∴∠DAE=∠EGC，
      ∵DA=DE，
      ∴∠DAE=∠AED；
      ∵∠AED=∠CEG，
      ∴∠EGC=∠CEG，
      ∴CG=CE=CB=
      5
      2
      ，（7分）
      ∴BG=5，
      ∴AG=
      √(2
      √5
      )2+52
      =
      √45
      =3
      √5
      ；（8分）
      解法一：连接BE，      S△ABG=
      1
      2
      AB?BG=
      1
      2
      AG?BE，
      ∴2
      √5
      ×5=3
      √5
      BE，
      ∴BE=
      10
      3
      ，（9分）
      在Rt△BEG中，
      EG=
      √BG2-BE2
      =
      √52-(
      10
      3
      )2
      =
      5
      3
      √5
      ，（10分）
      解法二：∵∠DAE=∠EGC，∠AED=∠CEG，
      ∴△ADE∽△GCE，（9分）
      ∴
      AD
      CG
      =
      AE
      EG
      ，
      2
      2.5
      =
      3
      √5
      -EG
      EG
      ，
      解得：EG=
      5
      √5
      3
      ．（10分）
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      九年级下浙教版解答题初学数学

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