（2011?六盘水）如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC=6，求图中弓形（即阴影部分）的面积．试题及答案-解答题-云返教育

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（2011?六盘水）如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC=6，求图中弓形（即阴影部分）的面积．

试题解答

见解析

解：（1）直线CD是⊙O的切线
理由如下：
如图，连接OC
∵∠AOC、∠ABC分别是AC所对的圆心角、圆周角
∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°
∴∠D+∠AOC=30°+60°=90°
∴∠DCO=90°
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线

（2）过O作OE⊥AC，点E为垂足
∵OA=OC，∠AOC=60°
∴△AOC是等边三角形
∴OA=OC=AC=6，∠OAC=60°
在Rt△AOE中
OE=OA?sin∠OAC=6?sin60°=3

√3

∴S_△AOC=

×6×3

√3

∵S_扇形AOC=

60π?6²

360

=6π
∴S_阴=S_扇形AOC-S_△AOC=6π-9

√3

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