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  • （2011?扬州）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=2√3，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2011?扬州）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
      （1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
      （2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=2
      √3
      ，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）

      试题解答

      见解析
      解：（1）如图：连接OD，
      ∵OA=OD，
      ∴∠OAD=∠ADO，
      ∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，
      ∴∠CAD=∠OAD，
      ∴∠CAD=∠ADO，
      ∴AC∥OD，
      ∵∠C=90°，
      ∴∠ODB=90°，
      ∴OD⊥BC，
      即直线BC与⊙O的切线，
      ∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；

      （2）设⊙O的半径为r，则OB=6-r，又BD=2
      √3
      ，
      在Rt△OBD中，
      OD      2+BD2=OB2，
      即r      2+（2
      √3
      ）2=（6-r）2，
      解得r=2，OB=6-r=4，
      ∴∠DOB=60°，
      ∴S      扇形ODE=
      60×π×22
      360
      =
      2
      3
      π，
      S      △ODB=
      1
      2
      OD?BD=
      1
      2
      ×2×2
      √3
      =2
      √3
      ，
      ∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：S      △ODB-S扇形ODE=2
      √3
      -
      2
      3
      π．
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