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  • （2014?吴中区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）连接BD，若ED：DO=3：1，OA=9，求：①AE的长；②tanB的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2014?吴中区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．
      （1）求证：AE与⊙O相切；
      （2）连接BD，若ED：DO=3：1，OA=9，求：
      ①AE的长；
      ②tanB的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）连接OC，

      ∵OD⊥AC，OC=OA，
      ∴∠AOD=∠COD．
      在△AOE和△COE中
      {
      OA=O C
      ∠AOE=∠COE
      OE=OE

      ∴Rt△AOE≌Rt△COE（SAS），
      ∴∠EAO=∠ECO．
      又∵EC是⊙O的切线，
      ∴∠ECO=90°．
      ∴∠EAO=90°．
      ∴AE与⊙O相切；
      （2）①设DO=t，则DE=3t，EO=4t，
      ∵
      AO
      DO
      =
      EO
      AO
      ，即
      9
      t
      =
      4t
      9
      ，
      ∴t=
      9
      2
      ，即EO=18．
      ∴AE=
      √EO2-AO2
      =
      √182-92
      =9
      √3
      ；
      ②延长BD交AE于F，过O作OG∥AE交BD于G，

      ∵OG∥AE，
      ∴∠FED=∠GOD．
      又∵∠EDF=∠ODG，
      ∴△OGD∽△EFD．
      EF
      OG
      =
      ED
      DO
      =
      3
      1
      ，即EF=3GO．
      又∵O是AB的中点，
      ∴AF=2GO．
      ∴AE=AF+FE=5GO．
      ∴5GO=9
      √3
      ，
      ∴GO=
      9
      √3
      5
      ．
      ∴AF=
      18
      √3
      5
      ．
      ∴tanB=
      AF
      AB
      =
      √3
      5
      ．
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