如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．（1）求证：△ADB∽△OBC；（2）连结CD，试说明CD是⊙O的切线；（3）若AB=2，BC=√2，求AD的长．（结果保留根号）试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．
（1）求证：△ADB∽△OBC；
（2）连结CD，试说明CD是⊙O的切线；
（3）若AB=2，BC=

√2

，求AD的长．（结果保留根号）

见解析

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∵AD∥CO，
∴∠A=∠BOC，
∴△ADB∽△OBC；
（2）如图，连接OD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD∥CO，
∴∠DFO=90°，
∵∠ODB=∠OBD，
∴∠DOF=∠BOF，
∵OD=OB，OC=OC，
在△ODC和△OBC中，

{	OD=OB ∠DOF=∠BOF OC=OC

∴△ODC≌△OBC（SAS），
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（3）∵AB=2，
∴OB=1，
∵BC=

√2

，
∴OC=

√OB²+BC²

√3

．
∵AD∥CO，
∴∠DAB=∠COB，
∵∠ADB=∠OBC=90°，
∴△ADB∽△OBC，
∴

，即

√3

，
解得AD=

√3

．

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