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  • （2011?宝应县模拟）已知：△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF，AB为非直径的弦，且∠CBF=∠A．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠A=30°，BC=2，连接OC并延长交EF于点M，求由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2011?宝应县模拟）已知：△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF，AB为非直径的弦，且∠CBF=∠A．
      （1）求证：EF是⊙O的切线；
      （2）若∠A=30°，BC=2，连接OC并延长交EF于点M，求由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：连接BO并延长交⊙O于H，连接HC，
      则∠H=∠A，∵HB是直径，∴∠HCB=90°
      ∴∠H+∠CBH=90°．
      又∵∠A=∠CBF
      ∴∠CBF+∠CBH=90°
      ∴HB⊥EF．
      又∵OB是半径，
      ∴EF是⊙O的切线．

      （2）解：在Rt△HCB中，BC=2，∠H=∠A=30°，
      ∴HB=4，OB=2．
      ∵∠BOM=2∠A=60°，
      ∴BM=OB×tan60°=2
      √3
      ，
      S=S      △OBM-S扇形OBC=
      1
      2
      OB?BM-
      60π×22
      360
      =
      1
      2
      ×2×2
      √3
      -
      2π
      3
      =2
      √3
      -
      2π
      3
      ．
      ∴由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积为2
      √3
      -
      2π
      3
      ．
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