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  • （2014?武义县模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，在⊙O上取点D，连接CD，使得AC=CD，延长CD交直线AB于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AC=2√3，AE=6．①求⊙O的半径．②点M是优弧⌒DAB上的一个动点（不与B，D重合），求MD，MB及⌒BD围成的阴影部分面积的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2014?武义县模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，在⊙O上取点D，连接CD，使得AC=CD，延长CD交直线AB于点E．
      （1）求证：CD是⊙O的切线．
      （2）若AC=2
      √3
      ，AE=6．
      ①求⊙O的半径．
      ②点M是优弧      ⌒DAB上的一个动点（不与B，D重合），求MD，MB及⌒BD围成的阴影部分面积的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）连接OD，OC，
      ∵AC是⊙O的切线，
      ∴∠CAB=90°，
      在△CAO和△CDO中
      {
      CA=CD
      CO=CO
      OA=OD

      ∴△CAO≌△CDO．
      ∴∠CAO=∠CDO=90°，
      ∴CD⊥OD，
      ∴CD是⊙O的切线．
      （2）①∵AC=2
      √3
      ，AE=6，
      ∴根据勾股定理得：CE=4
      √3
      ，
      又∵AC=CD，
      ∴DE=2
      √3
      ，
      ∴∠CEA=30°，
      ∴tan∠CEA=
      OD
      DE
      =
      √3
      3
      ，
      ∴OD=2．
      ∴⊙O的半径为2．
      ②∵图中阴影部分的面积可看成两部分，△DMB的面积和弓形DB的面积，
      ∵弧DB不变，∴三角形底边DB不变，
      当M运动到优弧      ⌒DAB的中点，高最大，即面积最大．
      由（1）及第二问①得：∠DOB=60°，当M运动到优弧      ⌒DAB的中点时，此时高经过圆心且垂直于DB，所以高的值为2+
      √3
      ，
      又△DOB是等边三角形，∴DB=OB=2，
      ∴      S△DBM=
      1
      2
      ×2×(2+
      √3
      )=2+
      √3
      ，
      又因为S      弓形DB=S扇形ODB-S△ODB=
      60×4π
      360
      -
      √3
      =
      2π
      3
      -
      √3
      ，
      ∴图中阴影部分的面积为：S=S      弓形DB+S△DBM=
      2
      3
      π+2．
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