已知：如图，⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的弦AB交⊙O2于点C、D，O1O2⊥AB，垂足为F，过B作⊙O2的切线BE，切点为E，连接EC、DE，若BE=DE，∠BED=30°，AC、CE的长是方程x2-10x+16=0的两个根（AC＜CE）．（1）求证：BC=EC；（2）求⊙O2的半径．试题及答案-解答题-云返教育

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已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交，⊙O₁的弦AB交⊙O₂于点C、D，O₁O₂⊥AB，垂足为F，过B作⊙O₂的切

线BE，切点为E，连接EC、DE，若BE=DE，∠BED=30°，AC、CE的长是方程x²-10x+16=0的两个根（AC＜CE）．
（1）求证：BC=EC；
（2）求⊙O₂的半径．

试题解答

见解析

（1）证明：∵∠BED=30°，BE=DE，
∴∠BDE=∠EBD=75°．
∵BE是⊙O₂的切线，
∴∠BCE=∠BED=30°．
∴在△BCE中
∠CEB=180°-30°-75°=75°，
∴∠CEB=∠BEC．
∴BC=EC．（3分）

（2）解：∵AC、CE的长是方程x²-10x+16=0的两个根且AC＜CE，
∴x₁=2=AC，x₂=8=CE，（4分）
∵O₁O₂⊥AB于F，AB是⊙O₁的弦，
∴AF=BF；
∵CD是⊙O₂的弦，
∴CF=DF，
∴BD=AC=2；（5分）
∵BC=CE，
∴BC=CE=8，
∵BE是⊙O₂的切线，
∴BE²=BD?BC=8×2=16，
∴BE=4，DE=4；（6分）
连接O₂E、O₂D，则BE⊥O₂E，
∵∠BED=30°，
∴∠DEO₂=60°，
∵O₂D=O₂E，
∴△DEO₂为正三角形，
∴O₂E=DE=4．（8分）

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