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  • 已知函数f（x）=x|x2-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数；（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．（3）如果函数f（x）的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x|x2-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0
      （1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数；
      （2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．
      （3）如果函数f（x）的值域是[0，λm      2]，试求实数λ的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵m＜1，且x∈[0，m]
      ∴0≤x＜1，∴0≤x      2＜1，∴x2-3＜0
      此时，f（x）=-x（x      2-3）=-x3+3x
      ∵f′（x）=-3x      2+3
      ∵0≤x      2＜1
      ∴-3＜-3x      2≤0
      ∴f′（x）=-3x      2+3＞0
      故此时，函数f（x）是增函数
      （2）令g（x）=x|x      2-3|，x≥0
      则g(x)=
      {
      3x-x3 ，0≤x≤
      √3
      x3-3x ，x＞
      √3

      当0＜x＜
      √3
      时，g′（x）=3-3x2=0 得x=1
      所以g（x）在[0，1]上是增函数，在[1，
      √3
      ]上是减函数
      当x＞
      √3
      时，由g′（x）=3x2-3＞0，所以g（x）在[
      √3
      ，+∞）上是增函数
      所以当x∈[0，
      √3
      ]时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（
      √3
      ）=0
      从而0＜m＜1均不符合题意，1≤m≤
      √3
      均符合题意
      当m＞
      √3
      ，在x∈[0，
      √3
      )时，f（x）∈[0，2]；x∈[
      √3
      ，m]时，f（x）∈[0，f（m）]
      这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2
      即m      3-3m≤2，（m-2）（m+1）2≤0，解得：
      √3
      ＜m≤2
      综上所述，m的取值范围是[1，2]
      （3）据（2）知，当0＜m＜1时，函数f（x）的最大值是f（m）=3m-m      3
      由题意可知，3m-m      3=λm2，即λ=
      3
      m
      -m，是减函数，故λ的取值范围是（2，+∞）
      当1≤m≤2时，函数f（x）的最大值是f（1）=2
      由题意可知，2=λm      2，即λ=
      2
      m2
      ，是减函数，故λ的取值范围是[
      1
      2
      ，2]
      当m＞2时，函数f（x）的最大值是f（m）=m      3-3m
      由题意可知，m      3-3m=λm2，即λ=m-
      3
      m
      ，是增函数，故λ的取值范围是(
      1
      2
      ，+∞)
      综上所述，λ的最小值是
      1
      2
      ，且此时m=2
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