已知函数f(x)=2x-12x+1．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的值域；（3）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

2^x-1

2^x+1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的值域；
（3）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

见解析

解：（1）由函数f(x)=

2^x-1

2^x+1

，可知函数的定义域为R．
∵f（-x）=

2^-x-1

2^-x+1

1-2^x

1+2^x

=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
（2）f（x）=

2^x+1-2

2^x+1

=1-

2^x+1

，
∵0＜2^x，∴1＜2^x+1，∴0＜

2^x+1

＜2，∴-1＜1-

2^x+1

＜1．
∴函数f（x）的值域是（-1，1）．
（3）证明：?x₂＞x₁，则f（x₂）-f（x₁）=1-

2^x₂+1

-(1-

2^x₁+1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
∵x₂＞x₁，∴2^x₂＞2^x₁，即2^x₂-2^x₁＞0，
又2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

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