• 已知函数f(x)=(12)x?g(x)=x-2x+1(1)求函数F(x)=f(2x)-f(x),x∈[0,2]的值域;(2)试判断H(x)=f(-2x)+g(x)在(-1,+∞)的单调性并加以证明.试题及答案-单选题-云返教育

    • 试题详情

      已知函数f(x)=(
      1
      2
      )x?g(x)=
      x-2
      x+1

      (1)求函数F(x)=f(2x)-f(x),x∈[0,2]的值域;
      (2)试判断H(x)=f(-2x)+g(x)在(-1,+∞)的单调性并加以证明.

      试题解答


      见解析
      解:(1)F(x)=(
      1
      2
      )2x-(
      1
      2
      )x
      令t=
      (
      1
      2
      )x(t>0)则
      y=
      t2-t=(t-
      1
      2
      )2-
      1
      4

      当t=
      1
      2
      ,y最小为-
      1
      4

      当t=2时,y有最大值为2
      故F(x)的值域为[-
      1
      4
      ,2]
      (2)H(x)=
      4x-
      3
      x+1
      +1
      ∵H′(x)=4
      xlnx+
      3
      (x+1)2
      >0
      ∴H(x)在(-1,+∞)单调递增

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